交换代数学习笔记¶
环(ring) - 阿贝尔群(封闭性, 结合律, 交换律, 单位元, 逆元) + 乘法对加法满足分配律 - 例子: 整数环
环同态(ring homomorphism) - 是一种 mapping, 从 A 到 B, 满足: - f(x + y) = f(x) + f(y), 可以推导出: - f(x - y) = f(x) - f(y) - f(0)= 0 - f(xy) = f(x) f(y) - f(1) = 1
环 A 的子环(subring) - 如果环 A 的子集 S 在加法和乘法运算下是封闭的，且包含 A 的同元素(identity element)，则 S 是 A 的子环。 - 从 S 到 A 满足环同态
理想(ideal) - a 是 环 A 的理想, 如果: - a 是 A 的子集 - a 是加法子群 - AI \(\subseteq\) a - 所以如果 x \(\in\) A, y \(\in\) a, 则 x * y \(\in\) a - 例子 - A 为整数环 - a = (0). a 中只有 0. 对于 A 中的任意 x, x * 0 = 0 \(\in\) a - a = (1). a 等于 A. 对于 A 中的任意 x, x * 1 = x \(\in\) a
商环 - 由多个等价类组成, 是环 A 通过 a 进行了等价类的划分的结果 - 每个等价类视为商环的一个元素 - 举例 - 商环 \(\mathbb{Z/2Z}\), 通过对 A 进行模 2 得到的 - 有两个等价类 \([0]\) 和 \([1]\), 分别是偶数和奇数的集合
核(kernel) - 是环同态中的一个概念 - 是环 A 中的元素的集合, 这些元素都会映射到 B 中的 0 元素 - 性质: 核是环 A 的一个理想. - 例子 - 考虑环同态 \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)，定义为 \(ϕ(a)=a \mod 6\) - 这里核 ker(ϕ) 是所有被映射到 0 的整数的集合，即所有 6 的倍数 - 也可以说 \(\mathbb{nZ}\) 是环同态 ϕ 的 kernel
像(image) - 是环同态中的一个概念 - 是一组输出元素的集合, 这些元素来自于环同态中所有可能的输出结果 - 性质: 像是环 B 的一个子环 - 例子: - 考虑环同态 \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)，定义为 \(ϕ(a)=a \mod 6\) - 这里像 Im(ϕ)\是通过取模 6 运算得到的所有不同的余数集合, 即 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
零除子(zero divisors) - x 是环 A 的零除子, 如果: y \(\neq\) 0 且 xy = 0 - 零除子是"不好"的元素
整环（integral domain） - 没有零除子的环称为整环 - 即如果 xy = 0, 则 x=0 或 y=0
幂零元（Nilpotent Elements） - A 是环 Q 的幂零元, 如果: n > 0 且 x^n = 0 - 幂零元是零因子, 而零因子不一定是幂零元 - \(k[x] / x^4\) 中的 x 是 Nilpotent - 是"不好"的元素
单位元（Units） - 单位元是能够整除 1 的元素, 即 x 是环 A 的单位元, 如果: xy = 1 - y 可以表示为 \(y = x^{-1}\) - A 中的单位元形成一个（乘法）阿贝尔群。 - 是"好"的元素
大多数的元素既不是 Nilpotent 也不是 Unit
主理想 - 主理想 (a) 包含所有形式为 ra 的元素，其中 r 是环 A 中的任意元素 - 例子 - 考虑整数环 \(\mathbb{Z}\)，选取其中的元素 a = 2 - 由 2 生成的主理想是 (2) - 这个主理想包括所有 2 的整数倍数的数 - 如果 x 是单位元, 则表示为 (1), 即 A 本身, (1) = A - 0 理想 (0) 通常就用 0 来表示
每个 field 是一个整环, 但整环不一定是 field
field 里面是没有 substructure 的, 没有 ideal(除了 (0) 和 (1))
命题 1.2 说明了在一个环 A 中，以下三个条件是等价的：
- A 是一个域；
- A 中唯一的理想是 (0) 和 (1)
- A 到任意非零环 B 的同态都是单射。
证明 1 -> 2: 若 A 是一个域，那么 A 中唯一的理想是 (0) 和 (1) - (0) 是环 A 的理想, 因为对于任何的 y \(\in\) A, y * 0 = 0 - 如果 a 是 A 中的非 0 理想, 由于 y \(\in\) A, x \(\in\) a, xy \(\in\) a, 且存在 xy = 1(因为 A 是域), 则 xy = 1 \(\in\) a - 如果 1 \(\in\) a, 则对于任何的 z \(\in\) A, 1 \(\cdot\) z = z \(\in\) a, 则 a 包含环 A 的所有元素, 所以 a = (1) - 所以结论成立
证明 2 -> 3: 如果A 中唯一的理想是 (0) 和 (1), 则A 到任意非零环 B 的同态都是单射 - 由于 ker(ϕ) 是 A 的理想, 所以 ker(ϕ) 只能是 (0) 或者 (1) - 假设 ker(ϕ) = (1) - 则 A 的所有元素都映射到 B 中的 0, 则 B 只有 0, 与假设不一致, 所以只能 ker(ϕ) = (0) - 单射定义 - 一个映射 ϕ: A -> B 是单射的, 当且仅当: - 对所有 a, b \(\in\) A, 如果 ϕ(a) = ϕ(b), 则 a = b - 当 ker(ϕ) = (0) - 由于 ϕ 是环同态, 则 ϕ(a - b) = ϕ(a) - ϕ(b) = \(0_B\) - 则 ϕ(a - b) \(\in\) ker(ϕ) - 由于 ker(ϕ) = { \(0_A\) }, 则 a - b = \(0_A\), 则 a = b - 满足单射的条件
证明 3 -> 1: 如果A 到任意非零环 B 的同态都是单射, 则 A 是一个域 - 利用反证法, 假设 A 不是一个 field, 则存在一个 x 满足 x 不为 unit - 则可以利用 x 构造一个商环 B = A/(x), - 从环 A 到商环 B 是一个自然的映射, 而且每个 a \(\in\) A 在 B 中都为 0 - 这样就不满足单射的初始条件 - 所以假设不成立, 所以 A 是一个 field
素理想(prime ideal) - 在环 A 中, 一个理想 p 被成为素理想, 如果满足两个条件 - p \(\neq\) (1) (即 p 不是整个换) - 如果 xy \(\in\) p, 则 x \(\in\) p 或 y \(\in\) p
prime ideal 可以切东西
p 是素理想 <=> A/p 是整环(integral domain) - 如果 p 是素理想 - 如果 \(\bar{x} \cdot \bar{y} = 0\), 则 \(\bar{xy} = 0\), 则意味着在 A/p 中 xy \(\in\) p, 因为 0 在 A/p 中意味着 p 中的所有元素 - 因为素理想的性质: 如果 xy = p, 则 x \(\in\) p 或 y \(\in\) p, 所以 x=0 或 y=0 - 所以 A/p 是整环 - 如果 A/p 是整环(integral domain) - 假设 p 不是素理想 - 则存在 xy \(\in\) p, 其中 x \(\notin\) p 且 y \(\notin\) p - 则在 A/p 中 \(\bar{x} \neq 0\) 且 \(\bar{y} \neq 0\) - 所以在 A/p 中, 对于 \(\bar{x} \cdot \bar{y} = 0\), 意味着 \(\bar{x}\) 或 \(\bar{y}\) 是零因子 - 这与A/p 是整环的假设矛盾 - 所以 p 是素理想
这个定义之所以重要，是因为它捕捉了素数在整数环中的一个关键性质，并将其推广到一般的环。在整数环 \(\mathbb{Z}\) 中，素数的一个基本性质是，如果一个素数 p 能整除两个整数的乘积，那么 p 至少能整除其中的一个整数。即，如果 p∣ab，那么 p∣a 或 p∣b。这一性质是素数的重要特征之一，它保证了素数在数论中的分解唯一性。
考虑到这一点，素理想的定义可以理解为避免零因子在某种程度上的引入。
最大理想(maximal ideal) - 理想 m 是 A 的最大理想, 如果: - m 不是 (1) - 不存在 a, 使得 m \(\subset\) a \(\subset\) (1) - m 是最大理想 <=> A/m 是 field - m 是最大理想 => A/m 是 field - 如果存在理想 a, 使得 m \(\subseteq\) a \(\subseteq\) (1) - 则 a 只可能是 - 对应的几何体就是一个点 - 函数 f mod x-z 得到的结果是 f 在 z 点的求值
自己举例子的话: 可以用多项式环, 因为多项式环对应的是整个空间上的函数, 整数环是比较差的结构
我们未来研究的东西都是和几何体相关的, 或者是多项式零点构成的几何体
课后题里大多数都是多项式环
后面主要关心多项式环和商环就够了